Nelineární model

[BystrickyK]

Popis nelineárního modelu je v https://github.com/BystrickyK/MPC_InversePendulum/blob/master/Courseware%20Resources/Documentation/Linear%20Pendulum%20Gantry%20-%20Workbook%20(Student).pdf
rovnice 2.9 a 2.10 na str. 7.
Předtím je tam odvozen z Euler-Lagrange rovnic.

[BystrickyK]

V MSM (Mat. Modely a Simulace) jsem jako semestrálku dělal nelineární model rakety s odporem prostředí, bylo tam 6 stavových proměnných a ručně se to linearizovat téměř nedalo, tak jsem to dělal v Matlabu. Můžu tedy zkusit udělat vlastní linearizaci toho modelu kyvadla v libovolném pracovním bodě, mělo by stačit jen upravit ten můj kód z MSM.

Edit: Jen úprava nestačila, v obou rovnicích jsou vždy druhé derivace x i alpha, takže to není tak jednoduché. Udělal jsem alespoň simulaci nelineárního modelu. Simulace se musí dělat implicitní metodou, asi kvůli té zamotané definici systému. Při řešení pomocí ode45 začal Matlab požírat RAM, a pokud se včas nepřerušil tak se mi freeznul systém, tak kdyžtak opatrně. Udělal jsem i jednoduchou animaci, akorát jako čas bere přímo časové kroky ze simulace, takže občas zpomalí.

[PajinV2]

• analytickou linearizaci v horni a dolni uvrati bych nevidel jako problem, protoze tam sin a cos (a jejich derivace) ty rovnice dost zjednodussi
• pak je jeste mozna numericka derivace a tak by proste mela jit udelat, pokud model zrovna nevraci Inf nebo Nan (nevim jaka byla ta tvoje metoda )
• ty rovnice 2.9 a 2.10 by chtelo roztrhnout a separovat stav, aby z toho byl stavovy popis dx/dt=f(x,u)
• potrebujem stavovy a co nejrychlejsi model
• v tve implementaci se mi nezda ten prikaz diff(), pokud to napises ve stavovem tvaru, tak to vubec nebudes potrebovat
• respektive Brunton to ma pekne ve stavovym tvaru https://www.youtube.com/watch?v=qjhAAQexzLg&t=713s, pak z toho jde udelat i ta pekne linearizace
• jinak jsem rad, ze jsi to pekne ze zacatku rozjel 👍
• ja jsem si taky neco zkusil odsimulovat, abych se v tom taky zorientoval, pak to muzem treba porovnat, ale pro tebe bude nejlepsi, kdyz si to vsechno udelas sam :)

[BystrickyK]

• Zjistil jsem že stavový popis se dá rychle udělat přes fci odeToVectorField ( https://www.mathworks.com/help/symbolic/odetovectorfield.html ), které stačí dát systém ODEček a ona vrátí stavový popis jako symbolický vektor V, kde je stav definovaný přes symbolický vektor Y.

((((Pro linearizaci bych chtěl vzít stavový popis V a udělat jakobián podle stavových proměnných ve vektoru Y, tedy něco jako jacobian(V, Y), Matlab ale nepozná proměnnou Y a když se zavolá jacobian(V, symvar(V)), tak vrátí 4x1 nulový vektor. https://duende.itk.ppke.hu/~ppolcz//files/scripts/d2017_10_30_levezetesek_plain_17_11_01_Time220019_runID8332/d2017_10_30_levezetesek.html Tady se dělá linearizace Včka nějakou oklikou, i když to zkopíruju tak mi to však nejde. Když vytáhnu proměnnou Y pomocí symvar(V), tak se pořád tváří jako skalár.)))))

EDIT: Už se mi linearizace povedla, pokud systém obsahuje x_c tak je tam nulový pól. Pro subsystém kde x_c vyhodím už ne.

• V našem modelu je zahrnutý i motor, takže je o něco složitější než Bruntonův. Kyvadlo téměř vůbec 'necloumá' s vozítkem i při velkých kmitech, dokud se neodpojí motor - tedy nevynulují back-emf a torque constanty. Jako vstup by mělo fungovat napětí V_m. Pokud se linearizuje model s připojeným motorem, vypadá dost divně:
  
  je tam jeden megapól. Linearizace je pro kyvadlo dole.

EDIT : Měl jsem chybu v parametrech, back-emf a torque konstanty byly 1000x vyšší (uteklo e-3)
Nová linearizace s připojeným motorem:


už jde i používat ode45

[BystrickyK]

Linearizace modelu s odpojeným motorem, substituce jsou popsány v Matlabu ve vektoru S (alpha = x1, Dalpha = x2, x_c = x3, Dx_c = x4):

Porovnání modelů, všechny PP nulové kromě alpha0 = pi/16:

Pro PP alpha0 = pi/2

:

[BystrickyK]

• Zkusil jsem i linearizaci se symbolickými parametry pro inverzní kyvadlo, vypadl z toho tenhle hnus:

Porovnával jsem to s dokumentací, alespoň znaménkově to sedí určitě. Nekontroloval jsem to celé, v dokumentaci mají jinak uspořádané stavové proměnné tak je to otrava. Kontroloval jsem jen závislost Dx4(DDx_c) na x1(alpha), ta sedí přesně, tak snad je to správně celé.

[BystrickyK]

Pokouším se modelovat lineární model s motorem a pulzy na vstupu u. Krátké 10V pulzy vyvolávají jen minaturní rychlosti, asi někde je řádová chyba v parametrech, nejspíše motoru.

...byla chyba v parametrech, po opravě je to mnohem lepší:

Jinak moc nevím jak udělat jednoduše simulaci nelineárního systému se vstupy, v Matlabu by to asi bylo nepraktické. Nenapadá tě jak přehodit ten nelineární popis co mám v Matlabu do Simulinku? Předělávat ty obrovské rovnice blokovými schématy by bylo na dlouho.

[PajinV2]

• ty symbolicke funkce a odeToVectorField asi muzou dost ulehcit praci, ale clovek mozna trochu ztrati kontrolu a cit. Nicmene hlavne, ze mame stavovy popis 👍
• ten linearizovany model se symbolickymi parametry se mi libi 👍 (pokud je spravne), jen bych mozna zkusil prehodit poradi stavu, aby odpovidalo quanser popisu
• pokud se tam prida motor voziku, a neni to jen zesileni, tak by mel asi rozsirit stav
• mozna bych pro zacatek pracoval s nejakym nelinearnim jednodussim modelem (bez motoru), a zkusil bych si na nej rozjet simulaci, navrhnout lqr, KF a pripadne i linearni a pak i mozna to nelinearni MPC, a kdyz to bude fungovat, tak bych ten model upresnil, tohle zjednodussen by se mohlo vyplatit pri implementaci a ladeni. Kazde navyseni komplexity muze mit tezko domyslitelne dusledky. (ted nevim, jak je ten model motoru slozity)
• k te simulaci, ja bych radeji zustal v matlabu, to budeme mit vic pod kontrolou. Klidne bych to zatim simuloval pomoci for loop (podobne jako jsi mel tu animaci), tj. v diskretnich casech bych volal ode solver na ten cas krok. Pro implementaci MPC bychom zase ze simulinku museli v diskretnich casech vystopovat do matlabu
• jinak ze simulinku jde dobre volat matlab (stavovou) funkci pres MATLAB Function https://www.mathworks.com/help/simulink/slref/matlabfunction.html
• do toho noveho kodu jsem zatim nekoukal

[BystrickyK]

• Udělal jsem řízení pomocí full state regulátoru, K jsem zkoušel navrhovat i pole placementem i LQR, pole placement mi však vychází mnohem lépe (menší vstupy a rychlejší odezva), přestože jsem zkoušel několik různých cost funkcí pro LQR.

• Přibylo pár "nových" model mlx souborů, dělal jsem si klony ať na nich můžu zkoušet věci jako přeskládávání těch stavových proměnných. Hlavní model se simulací řízení je model.mlx. model_sym je jen ta symbolická linearizace a v modelp jsem se pokoušel o přehazování těch pořadí. Časem je uklidím nebo zjednoduším+přejmenuju, pokud budou použitelné.

• Udělal jsem funkci pendulumCart pro 'odefun' vstup do solveru, v podstatě jsem jen zkopíroval vektor V z odeToVectorField do samostatné funkce, takhle je to ale o něco tvárnější. Při volání se zobrazuje velikost vstupu u.

[PajinV2]

• je fajn, ze mas ten stavovy model pendulumCart, ale uvnitr by bylo hezke misto tech cisel dat nejaky ty parametry/promenne, pak sin a cos staci pocitat jen jednou (viz Brunton)
• ta simulace LQR solutionNonlinear = ode45(@(t,Y)pendulumCart(Y, -Kr_lqr*(Y-[pi; 0; 1; 0])), tspan, initialCondition); je pro zacatek fajn. Ty jsi pocital spojity LQR, a pak ho pouzivas jako spojity, jen je treba si uvedomit, ze ode45 pravdepodobne pocita s variabilnim krokem a ten tspan s krokem 0.01 je tam vicemene pro vystupni data, pres ktere se asi (v ramci vypocetni efektivity) dela jen interpolace. Implementace pro MPC pak bude urcite diskretni a pokud jsi to myslel jako diskretni simulaci, tak to asi neni presne. Pokud ten solver jede v po malych casovych krocich, tak se to chova skoro spojite a neni rozdil poznat, ale na to nelze obecne spolehat.
• zitra po 14h bychom se sesli a probrali to osobne, ok?

[BystrickyK]

Ok, zítra ve 14h příjdu. Ten tspan jsem tam dal právě podle Bruntona, předtím jsem tam měl jen časové meze. Čekal jsem že mi ode45ka vrátí řešení právě v časech v tspanu ať už jsou vlastní kroky solveru jakékoliv - podle dokumentace:

If tspan has more than two elements [t0,t1,t2,...,tf], then the solver returns the solution evaluated at the given points. However, the solver does not step precisely to each point specified in tspan. Instead, the solver uses its own internal steps to compute the solution, then evaluates the solution at the requested points in tspan. The solutions produced at the specified points are of the same order of accuracy as the solutions computed at each internal step.

Vrací však stejné velikosti řešení pro různé kroky v tspanu a i z .x dat výstupu solveru je zřejmé že stejně vrací data podle svých vlastních kroků a z tspanu ho zajímá jen první a poslední hodnotu.

[PajinV2]

• ano, tohle jsem se o funkci ode45 snazil rict
• tu funkci uvnitr pendulumCart jsem chtel udelat podle Bruntona
• ten tspan je ok, ale zalezi jestli to takhle chces pro vykreslovani, pak je to ok, a nebo pro presne diskretni rizeni, pak to neni uplne ok

[ayoubEST2021]

can you explain to me how you did the simulation of the Nonlinear system and the linear ?